LAS CÓNICAS Y OTRAS CURVAS

Gran parte del conocimiento geométrico que aprendemos en la escuela, e incluso en el liceo, proviene de la Antigua Grecia. Matemáticos griegos como Tales, Pitágoras, Euclides y Arquímedes estudiaron con tanta profundidad los secretos de los objetos geométricos que durante siglos no hubo grandes avances en este aspecto. Sin embargo los antiguos griegos tenían interés solamente en aquellas formas geométricas que se construían utilizando regla y compás, lo cual generó ciertas restricciones en su comprensión de la geometría. Son muchísimos los ejemplos de figuras geométricas que no pueden ser construidas utilizando solamente regla y compás, ¿cómo estudiar estas figuras? El desarrollo del Álgebra en la Edad Media y del Cálculo en la Modernidad posibilitaron ampliar los horizontes en nuestro entendimiento de la geometría. 

En este blog ya se han publicado videos sobre curvas famosas, entre ellas la Cicloide y la Catenaria, que pertenecen a la extensa familia de curvas que los griegos no llegaron a estudiar pues no es posible trazarlas utilizando regla y compás. Hoy nos ocuparemos de un conjunto de curvas conocido como Las Cónicas que se generan al intersectar un plano con un cono, algunas de estas son la elipse, la parábola y la hipérbola. Estas curvas cónicas suelen estudiarse en los cursos más avanzados de la secundaria cuando los alumnos ya tienen contacto con una teoría geométrica que los griegos desconocían: la Geometría Analítica. En el siguiente video podrás conocer más sobre estas sorprendentes curvas cónicas que podemos encontrar fácilmente en nuestra vida cotidiana.

¿CÓMO SE JUEGA AL SUDOKU?

Hoy en día es bastante común encontrarse con revistas destinadas a la resolución de múltiples pasatiempos que incluyen crucigramas, laberintos, puzzles, acertijos, sopas de letras y, también, sudokus. Sin embargo fue recién en 2005 cuando este juego de lógica-matemática se hizo popular internacionalmente a pesar de haber sido creado sobre finales de la década de 1970. Es innumerable la lista de juegos que, así como el Sudoku, guardan una estrecha relación con la matemática, entre ellos podemos nombrar a la Ruleta, el Ajedrez o el Cubo de Rubik. En próximas publicaciones del blog espero compartir con ustedes otros juegos que evidencian desde su propio origen un importante vínculo con la matemática, como ocurre en el caso del Tetris.

Desde siempre los juegos nos ayudan a desarrollar habilidades necesarias para la vida en sociedad, por ejemplo existen diversos juegos para niños basados en la imitación que van a facilitar en ellos la capacidad de empatizar con el otro. De hecho hasta los animales juegan instintivamente con el objetivo de potenciar distintas destrezas, entre ellas las técnicas de caza. El filósofo griego Platón sostenía que “el tipo de educación más eficaz es que un niño juegue entre cosas encantadoras”. En el siguiente video el gran divulgador matemático Adrián Paenza nos enseña cómo jugar al Sudoku y así potenciar nuestras habilidades lógico-matemáticas.

LA CURVA CICLOIDE

Aproximadamente 150 millones de kilómetros separan a nuestro planeta de la estrella más cercana: el Sol. La energía del Sol, en forma de luz, sustenta casi todas las formas de vida en La Tierra. Muchos pueblos antiguos adoraron al Sol como si fuera un dios y no parece una idea descabellada hoy que conocemos con detalle su importancia. Sin embargo cuando miramos el cielo y vemos al Sol no observamos al Sol tal cual es ahora sino que estamos viendo el pasado del Sol, más concretamente observamos al Sol de hace ocho minutos y veinte segundos. Esto ocurre por la naturaleza propia de la luz y su velocidad que es una constante universal, aproximadamente trescientos mil kilómetros por segundo. La distancia que recorre un fotón en un año es lo que llamamos habitualmente como un año luz y es la unidad de longitud que utilizamos para indicar distancias astronómicas.

Johannes Kepler será el científico que explique que La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol resucitando el ínterés del trabajo de un antiguo matemático griego: Apolonio de Perga. Apolonio estudió con detalles unas curvas muy especiales que conocemos como “Cónicas”. Las circunferencias, las elipses, las parábolas y las hipérbolas son curvas que conforman este selecto grupo de curvas. En el siguiente video conoceremos la curva cicloide, que no es una cónica, y veremos qué tiene que ver esta curva con el concepto de distancia.

EL PROBLEMA DE MONTY HALL

Más allá de los azares a los que estamos expuestos, y que obviamente nos afectan, hay una cosa que es segura: nuestro destino es una consecuencia directa de las decisiones que tomamos. En muchas ocasiones tendrás la necesidad de tomar decisiones, y más de la mitad de las veces habrás de hacerlo en condiciones de incertidumbre, con un conocimiento bastante incompleto de las condiciones imperantes. En la toma de decisiones personales nos enfrentamos muy frecuentemente a la incertidumbre, y nuestra principal herramienta para enfrentar la incertidumbre es la teoría de la probabilidad. 

Particularmente podemos observar con facilidad la utilidad de esta teoría matemática cuando tomamos decisiones relacionadas a la economía. La probabilidad nos permiten predecir en cierta medida los comportamientos de las inversiones, o al menos, las posibles ganancias o pérdidas. Esto resulta muy importante para decidir si invertir o no, sobretodo nos permite medir el riesgo de una determinada inversión. En el siguiente video se explica el famoso Problema de Monty Hall que nos muestra con claridad como la intuición puede jugarnos una mala pasada a la hora de tomar decisiones, por lo que siempre resulta importante realizar un estudio de probabilidades.

LOS JUEGOS DE AZAR

El azar es protagonista de teorías científicas actuales como por ejemplo la teoría del caos o la mecánica cuántica, sin embargo hasta hace no mucho el azar era una mala palabra en el discurso científico. La visión determinista del mundo predominó en las esferas del conocimiento durante siglos, y claro, si es que entendían al universo como algo determinado esto no ocurría porque sí, detrás del supuesto orden se escondían las leyes de la causalidad. Entonces el azar, también conocido como casualidad, es entendido como lo opuesto a la causalidad, es decir lo opuesto al conocimiento: la ignorancia. Podríamos nombrar a Aristóteles como un personaje influyente que sembró esta equívoca idea respecto al azar en la historia del pensamiento.

De todas formas el azar siempre formó parte de la cultura del hombre, tanto en rituales, mitologías y, por supuesto, también en los juegos. Los juegos de azar y las matemáticas tienen una historia en común repleta de datos curiosos, de hecho uno de los juegos de azar más famosos es la Ruleta que, se dice, fue inventada por el matemático Blaise Pascal. En el siguiente video se explica, utilizando las herramientas matemáticas necesarias, cuán abrumadoras son las posibilidades de perder cuando uno juega sistemáticamente a la Lotería o a la misma Ruleta. Por lo visto mejor ni entrar a un Casino.

LA HISTORIA DE LOS NÚMEROS ROMANOS

Vivimos en el presente y con la mirada puesta en el futuro, pero ¿vale la pena pensar en el pasado? Antes que nada es inevitable que busquemos nuestros orígenes como civilización para lograr una identificación como sociedad, asimismo es sumamente importante conocer nuestra historia para reflexionar acerca de nuestros aciertos y nuestros errores. La Antigua Roma es un buen ejemplo de sociedad que pasó por todos los estados posibles, dejándonos como legado su gran desarrollo del Derecho y de la Arquitectura, entre otras cosas. En el cine podemos observar decenas de películas ambientadas en la Antigua Roma que evidencian la necesidad de revisitar la historia de los romanos. “Gladiator”, “Centurion”y “Ágora” son solo algunos de los films cuyas historias transcurren en el antiguo Imperio Romano. Precisamente “Ágora” es una película biográfica acerca de una de las primeras mujeres matemáticas: Hipatia de Alejandría. 

Los romanos no se dedicaron al estudio de la ciencia teórica, aunque sí recopilaron los conocimientos de los pueblos que fueron conquistando, como por ejemplo Grecia y Egipto. Ellos aplicarían dichos conocimientos para desarrollar tecnologías en distintos campos como la ingeniería militar, la agricultura o las construcciones arquitectónicas. Eso sí, los romanos contribuyeron a la historia de la matemática con un sistema de numeración que en su época fue revolucionario pero que en la actualidad ha sido reemplazado. Si quieres conocer por qué ya no usamos los números romanos o cuál es el mayor número romano que podemos escribir entonces mira el siguiente video.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS PRIMOS?

Todo estudiante de nivel secundario que haya tenido un curso de química conoce la tabla periódica de elementos. Esta tabla reúne todos los elementos químicos que conocemos con los que la materia puede constituirse, por ejemplo el hierro, el carbono o el titanio. Obviamente hay materias que no son elementales, por ejemplo el agua, y por ende estan compuestas por moléculas que reúnen átomos de distintos elementos, en el caso del agua la molécula se compone por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Algunos de estos elementos se conocen desde la antigüedad, entre estos podemos nombrar al oro o el mercurio, mientras que otros se descubrieron hace no mucho, por ejemplo en 2016 se encontraron cuatro nuevos elementos: nihonium, moscovium, tennessine y oganesson. 

Los matemáticos suelen comparar los elementos químicos con los números primos, pues así como todas las demás materias se componen por moléculas que reúnen átomos de distintos elementos, todos los números puede decirse que están conformados por números primos. Asimismo hay números primos que se conocen desde la antigüedad y otros que se conocen desde hace muy poco. En el siguiente video no solo se describe qué es un número primo sino que también se explica nada más ni nada menos que el Teorema Fundamental de la Aritmética.

LA HISTORIA DEL NÚMERO π

¿Cómo era el mundo hace cuatro mil años? Bueno... yo no soy profesor de historia, pero eso sí, les puedo asegurar que ya en esa época se tenía conocimiento del número π, inlcuso se estimaba su valor en 3,16. En 2006 el japonés Hiroyuki Goto recitó cien mil cifras decimales del número π durante más de dieciseis horas. Si deseas quitarle el record mundial a Hiroyuki deberás aprender reglas memotécnicas para memorizar las cifras decimales de π, por ejemplo: “Soy y seré a todos definible / mi nombre tengo que daros / cociente diametral siempre inmedible / soy de los redondos aros”. Si cuentas las letras de cada palabra en el poema anterior obtendrás las primeras veinte cifras decimales de π.

¿Qué tiene un número para despertar el interés de tantas personas a lo largo de la historia? Si aún no has caído bajo el encanto de π quizás no entiendas por qué este número aparece hasta en el azar. En ese caso te sugiero ver el siguiente video, entonces podrás conocer cómo ha sido el largo camino de aprendizaje sobre el número π, así como también un método para calcular un valor aproximado haciendo un experimento en tu casa.

EL PLACER DE TENER UN PROBLEMA SIN RESOLVER

¿Qué es la inteligencia? Responder esta pregunta no es fácil, pues no hay una concepción que contemple todas las opiniones al respecto. Pasa exactamente lo mismo con otros conceptos subjetivos como por ejemplo la felicidad. Casi todas las definiciones de inteligencia dadas por los psicólogos la relacionan con la capacidad de resolver problemas. La mayoría de los test de coeficiente intelectual solo contienen problemas lógico-matemáticos, a modo de ejemplo te propongo que realices el siguiente test de inteligencia. Esto indica que tradicionalmente se vincula a la inteligencia únicamente con el desarrollo de las habilidades matemáticas. En 1983 el psicólogo Howard Gardner publicó su trabajo “Las estructuras de la mente” que proponía una teoría de inteligencias múltiples. Esta novedosa concepción constaba en un principio de siete tipos distintos de inteligencias donde podemos mencionar entre otras la inteligencia musical, la inteligencia corporal o la inteligencia lógico-matemática. 

En el siguiente video el matemático Adrián Paenza habla sobre la naturaleza de problemas que enfrentamos en la escuela, evidenciando cómo la educación formal no nos prepara adecuadamente para enfrentarnos a los desafíos que nos propone la vida cotidiana.

LOS NÚMEROS BINARIOS

El bien y el mal, la verdad y la mentira, el blanco y el negro... muchas veces los discursos de las personas no admiten matices y separan su universo en dos partes antagónicas. Esta costumbre es propia del mundo occidental, recordemos que en la cultura oriental podemos encontrar conceptos como el yin y el yang que si bien se consideran opuestos, del mismo modo se entienden complementarios. Si bien cada vez existen más teorías filosóficas que buscan comprender el universo abarcando su carácter complejo y difuso, lo cierto es que muchas veces vuelve a resurgir un pensamiento reduccionista donde eres parte del problema o eres parte de la solución. 

La lógica binaria se basa en el llamado Principio de Dualidad en donde las variables pueden tomar solo dos valores: verdadero o falso, sí o no, cero o uno. Esta forma de concebir el mundo es muy útil para las computadoras, no tanto para los hombres. Como vivimos rodeados de tecnología y dependemos de sistemas computarizados para casi todo, esta lógica binaria nos rodea permanentemente pues es el lenguaje de los ordenadores. Para comprender en parte cómo los ordenadores codifican su mundo en interminables cadenas de ceros y unos mira el siguiente video que explica, entre otras cosas, el sistema de numeración binario.

EL TRIÁNGULO DE PASCAL

Además de ser una muy estudiada figura geométrica el triángulo se ha convertido en un símbolo que esconde múltiples significados, por ejemplo para el filósofo griego Platón el triángulo equilátero simboliza la divinidad, la armonía y la proporción. El triangulo equilátero representa además a la figura divina en gran cantidad de religiones y ritos, sin ir más lejos para los católicos Dios es una trinidad compuesta por Padre, Hijo y Espíritu Santo. También existen algunas representaciones de Dios donde es simbolizado como un triángulo con un ojo dentro (el ojo que todo lo ve). Asimismo el triangulo está en la base de la formación de cualquier pirámide, la mayor parte de las antiguas civilizaciones han utilizado a la pirámide como máxima expresión de la perfección del triangulo. Cuando la figura del triangulo en dos dimensiones, pasa a las tres dimensiones de la pirámide, su importancia simbólica queda multiplicada.

Uno de los triángulos más famosos de la historia de la matemática es aquel que conocemos como Triángulo de Pascal, aunque lo cierto es que mucho antes de que Blaise Pascal lo hiciera popular en Occidente este mismo triángulo fue utilizado por indios, chinos y persas. Si deseas conocer solo algunos de los secretos que esconde dicho triángulo mira el siguiente video.

TODOS LOS LIBROS DEL MUNDO CABEN EN UN METRO

A veces se dice equivocadamente que los granos de arena del desierto son infinitos, lo cierto es que la tarea de contar uno a uno cada grano de arena del desierto pareciera inabarcable pero no es imposible. Si quisiéramos conocer dicho número deberíamos programar a un robot para que se dedique exclusivamente a contar granos de arena por mucho tiempo y finalmente nos dará una respuesta que será un número finito. Nuestra propia existencia es finita y sin embargo siempre hemos deseado trascenderla. En general se nombran tres cosas que todo hombre debe hacer para trascender su propia existencia: tener un hijo, plantar un árbol y escribir un libro. 

Así pues, se han escrito muchísimos libros, y se van a escribir muchos más, pero nunca habrá una infinidad de libros. Uno de los secretos del infinito señala que todos los libros que se han escrito, y los que restan por escribirse, entran todos juntos en una regla de un metro, si deseas saber cómo se ha podido lograr algo tan extraño como esto mira el siguiente video.

¿QUÉ ES LA ESTEGANOGRAFÍA?

Muchas veces se menciona a los hackers como criminales informáticos por parte de los medios de comunicación, sin embargo el origen de este término se encuentra ligado al prestigioso Instituto Tecnológico de Massachussets (MIT). Lo cierto es que existen distintos tipos de hackers, algunos de estos operan de forma destructiva y otros incluso son contratados por las empresas para identificar y reparar los puntos débiles de la seguridad de su sistema informático. En 2007 se creó WikiLeaks que funciona como una organización de hackers cuyo objetivo es difundir informes y documentos filtrados con información sensible de interés público. Más allá del uso y abuso del conocimiento técnico sobre sistemas computacionales lo que se hay detrás es un debate sobre la democratización de la información por parte de las autoridades.

En este complejo mundo de ceros y unos la matemática será una llave que abrirá y cerrará las puertas de este extenso pasillo repleto de secretos. Los hackers, entre otras cosas, deben conocer los distintos algoritmos matemáticos involucrados en las diferentes formas de encriptar información. La esteganografía es una forma de ocultar mensajes que data de mucho tiempo, en el siguiente video se explica qué es y se mencionan algunos ejemplos sorprendentes.

LA CAMPANA DE GAUSS

Los contribuciones de Gauss a la matemática son tales que se ganó el apodo de “El Príncipe de los Matemáticos”. Entre estos importantes aportes se encuentran: el método para la construcción de un polígono regular de 17 lados, la observación de que todo número natural es suma de tres números triangulares, la crítica al quinto postulado de Euclides que conlleva la génesis de la Geometría Elíptica e Hiperbólica, y la demostración del Teorema Fundamental del Álgebra. 

Existe además un concepto matemático conocido como la Campana de Gauss, aunque lo cierto es que Gauss no fue el primero en proponer dicha idea. Se trata de la representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos, éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada. Realmente la distribución normal la descubrió y publicó por primera vez Abraham Moivre. En el siguiente video se explica la importancia de dicha campana en distintos ejemplos de probabilidad y estadística.

EL PROBLEMA DEL VIAJANTE

Eficiencia es una palabra muy relacionada a la matemática, significa obtener un determinado fin utilizando la menor cantidad de recursos. De sobra está decir que este es un concepto fundamental en economía pues cualquier empresa ante todo intentará ahorrar tanto como pueda para conseguir mayores ganancias. Eso sí, no debemos pensar que su utilidad se reduce únicamente a este campo pues el concepto de eficiencia es igualmente útil en computación y en biología. Muchos problemas matemáticos consisten en elegir la estrategia más eficiente para resolver una situación, es el caso del problema del viajante.

En su enunciado general no se conoce una solución del problema del viajante por lo que forma parte de la larga lista de enigmas matemáticos por resolver. En el siguiente video se describe el problema y alguna de sus aplicaciones.

¿QUÉ ES LA TOPOLOGÍA?

A veces nos sentimos solos rodeados de gente y pensamos que existe una distancia infranqueable entre uno y los demás, no importa cuan próximos estén: siempre los sentimos lejos. Durante esos momentos de melancolía no nos damos cuentas pero estamos reflexionando sobre conceptos muy topológicos. ¿Qué es la proximidad? ¿Qué propiedades hacen que dos cosas sean totalmente distintas? ¿Qué cambios podemos hacer para transformarnos en algo totalmente distinto a lo que somos? Obviamente la topología si bien es bastante reflexiva forma parte de la matemática y no de la filosofía, por lo que mucho puede ayudarnos a contestar estas preguntas si las referimos a conceptos matemáticos. 

La topología es una jovén rama de la matemática por lo que no es muy conocida entre los inexpertos, su origen se encuentra en la aparición del análisis matemático propuesto tanto por Newton como por Leibniz que obligó a revisar profundamente el concepto de proximidad involucrado en la idea de límite. Asimismo el estudio del problema matemático conocido como el “Problema de los Siete Puentes” realizado por Euler fue fundamental para el nacimiento de la topología. En el siguiente video se explican brevemente sus concepciones generales.

DESAFIANDO A LA GRAVEDAD

¿Qué es una serie infinita? La paradoja de Zenón suponía que si se sumaban infinitos números positivos el resultado de dicha cuenta debía ser infinito, pero como ya vimos esto no siempre es así. Las series infinitas (o series matemáticas) son una especie de artilugio matemático para estudiar el resultado de sumas donde intervienen infinitos números. Las series infinitas son fundamentales en el cálculo de áreas y volúmenes de objetos geométricos irregulares. Asimismo las series infinitas nos ayudan a aproximar números irracionales como el número π o el número e.

Si alguna vez has jugado al jenga sabrás que el equilibrio y la gravedad conspiran contra uno, se requiere de mucha destreza y paciencia para resultar ganador. En el siguiente video veremos cómo el conocimiento de las series infinitas nos permite desafiar a la gravedad, logrando construcciones que superan nuestra intuición.

¿POR QUÉ NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE CERO?

¿Qué es el número cero? En matemática utilizamos el cero para indicar una cantidad nula. Recordemos que en matemática los conceptos ya sea numéricos como geométricos son ideales, es decir que no se corresponden con fenómenos naturales. Sin embargo cuando nos referimos a otros contextos científicos cuyos estudios sí se centran en el mundo natural el cero es un concepto un tanto confuso. ¿Qué significa que la temperatura de un objeto sea cero? Cuando hablamos de temperaturas tenemos muchas escalas de medida. El cero en la escala Celsius indica la temperatura en que el agua se congela mientras que el cero en la escala Kelvin, comúnmente llamado cero absoluto, indica el valor mínimo de temperatura que puede tomar la materia. 

Uno de los momentos más desconcertantes que viven los estudiantes es cuando llegan a dudar de un instrumento en el que depositaron toda su confianza: la calculadora. Si divides cualquier número entre cero en tu calculadora notarás que aparece una leyenda que indica que se ha producido un error. Si quieres saber por qué ocurre esto mira el siguiente video.

LA CINTA DE MOEBIUS

En 1996 se estrenaba la película argentina “Moebius”. La película trata sobre la investigación de un subterráneo perdido, el UM-86, desapareciendo incluso con sus pasajeros y maquinistas a bordo. Dentro del equipo de investigación hay un joven matemático (Daniel Pratt) que será fundamental para dar respuesta a la misteriosa desaparición. Cada vez se van sumando más fallas desconcertantes en la red de subterráneos y como si fuera poco hasta los planos parecen haber desaparecido de los registros. Los familiares y amigos de los pasajeros denuncian las desaparición de sus seres queridos ante la prensa generando presión en los encargados de la investigación que a su vez se pelean entre ellos. Finalmente pareciera que una Cinta de Moebius gobierna con sus particulares características la red de subterráneos.

Esta historia de fantasía absoluta se sostiene sobre un concepto matemático que ante todo nos indica que nuestra percepción del mundo es bastante rígida, pues mínimos cambios en nuestros enfoques de pensamiento generan resultados tan atípicos como antinaturales. El matemático y astrónomo August Moebius se permitió tal libertad ensamblando una cinta de forma antiintuitiva y descubriendo allí una estructura simple y paradójica que nos sigue deslumbrando con su minimal encanto. En el siguiente video se describen algunas de las propiedades de la Cinta de Moebius como también algunas aplicaciones prácticas.

¿QUÉ ES EL CÁLCULO INTEGRAL?

En ciencia existen distintas posturas para investigar aquello que se desea conocer. Dentro de esas posturas existen dos que se pueden considerar opuestas: el reduccionismo y el holismo. Los científicos que mantienen una visión reduccionista están convencidos que el objeto de su estudio puede ser fragmentado y analizado completamente a través de sus partes. Los científicos que, por el contrario, se entienden dentro de una concepción holística hacen suyas las palabras de Aristóteles: “El todo es mayor que la suma de sus partes”. Sostienen, entonces, que el funcionamiento de un sistema es más complejo que el funcionamiento de los elementos constituyentes del sistema. Un concepto muy importante al respecto es el de sinergia, entendida como un efecto sistémico causado por múltiples causas que en caso de actuar aisladamente no lograrían dicho resultado.

El cálculo infinitesimal desarrollado por Newton y Leibniz logró comprender la relación entre dos conceptos matemáticos que ya existían: las integrales y las derivadas. En el siguiente video se explican básicamente las ideas que hay detrás del cálculo de integrales. Como podrás observar tiene mucho que ver con el estudio del todo y de las partes.