LOS SECRETOS DEL TRIÁNGULO DE PASCAL

Blaise Pascal fue un filósofo, matemático y físico francés del siglo XVII. Entre sus logros científicos podemos mencionar sus fundamentales aportes a la incipiente Teoría de la Probabilidad, los cuales se encuentran estrechamente ligados al estudio de los juegos de azar, un tema que cautivó profundamente a Pascal que es considerado el inventor de la Ruleta. Asimismo, este matemático francés ideó la primer máquina para realizar operaciones básicas, la cual conocemos hoy como Pascaline. Esta herramienta es una predecesora no sólo de la calculadora actual sino también de los ordenadores en general. Las contribuciones de Pascal a la física se centran en el estudio de los fluidos, siendo entonces de gran importancia en Hidrostática e Hidrodinámica, un claro ejemplo es el denominado Principio de Pascal que establece que toda presión ejercida hacia un fluido se propagará sobre toda la sustancia de manera uniforme. Debemos decir que apenas se han mencionado algunos de sus aportes científicos, sin embargo no debemos olvidar que este intelectual francés posee además una importante obra filosófica. 

En 1654 Pascal publicó su “Tratado sobre el Triángulo Aritmético” donde organiza y recopila gran parte de las propiedades del que hoy conocemos como Triángulo de Pascal. Para hacer justicia se ha de indicar que siglos antes matemáticos de distintas partes del mundo ya conocían este triángulo, entre ellos el persa Omar Khayyám, el chino Yang Hui y el italiano Niccolo Fontana. ¿Por qué es tan interesante el Triángulo de Pascal? Si aún no lo sabes mira el siguiente video y te sorprenderás.

AL-KHWARIZMI Y LOS NÚMEROS DE LA INDIA

El célebre califa Harún al-Rashid, que inspiró la famosa obra “Las Mil y Una Noches”, fue un personaje fundamental para dar inicio a la Edad de Oro del Islam, así como también su hijo y sucesor Al-Mamún. Desde el siglo VIII hasta el siglo XII el Imperio Islámico se caracterizó por ser el lugar de mayor desarrollo tanto en las artes como en las ciencias, y por supuesto en las matemáticas. Recordemos que uno de los centros de estudios más importantes de la historia fue la Casa de la Sabiduría ubicada en la ciudad de Bagdad, allí se llevaron a cabo traducciones al árabe de los textos de los antiguos griegos. De hecho gracias a las traducciones de los árabes han sobrevivido estos libros hasta la actualidad, ya que los manuscritos originales fueron destruidos. Los musulmanes no se dedicaron solamente a estudiar los avances de griegos e indios sino que realizaron sus propios aportes en distintas áreas del conocimiento que incluyen la medicina, la ingeniería, la arquitectura, la astronomía y la matemática. 

Algunos de los más destacados matemáticos árabes son Al-Khwarizmi y Alhacén, el primero de ellos es considerado el padre del Álgebra, mientras que el segundo, además de establecer los principios de la Óptica Geométrica, fundó las bases mismas de la ciencia. En el siguiente video se describen algunos de los aportes de Al-Khwarizmi, enfatizando su importancia en la adopción de los números provenientes de la India. 

¿CUÁL FUE EL PRIMER NÚMERO DE LA HISTORIA?

Existen ciertos hechos que resultan ser trascendentales en la historia de la humanidad, como ejemplos podemos mencionar la llegada del hombre a la Luna o la Revolución Industrial. Si retrocedemos mucho más en el tiempo encontramos uno de los hitos de la civilización: la invención de la escritura. En general los expertos consideran que la escritura comienza a desarrollarse durante la Edad de Bronce, aproximadamente 4000 a.C., dando lugar al origen de la Historia, ya que cuando nos referimos al período histórico anterior a la escritura técnicamente lo denominamos Prehistoria. Como habrás adivinado la invención de la escritura va a estar muy relacionada con el registro del conocimiento matemático, sobretodo con el concepto de número.

La invención de la escritura supuso un avance intelectual muy importante para el ser humano, que requirió un gran desarrollo de la capacidad de abstracción en la mente humana. Asimismo, la invención de los números también cambió la existencia de los seres humanos. Los números son una herramienta fundamental en nuestra sociedad, que permiten, por ejemplo, medir, contar, ordenar y clasificar. Además sería imposible desarrollar la economía sin la ayuda de los números. Si deseas saber cuál fue el el primer número de la historia te sugiero mirar el siguiente video.

LA HISTORIA DEL NÚMERO CERO

En el año 2017 el Banco Central Europeo permitió a Alemania la emisión de billetes de cero euros. Esta extraña idea tuvo, en realidad, una finalidad turística pues los coleccionistas que fueron en su búsqueda debieron visitar la ciudad alemana de Kiel. Estos billetes son prácticamente idénticos a los normales, están impresos en el mismo papel que los euros de verdad y tienen también casi todos sus sellos de seguridad: marcas de agua, relieves, hologramas y hasta número de serie. El anverso de estos billetes está decorado con el buque alemán Gorch Fock II, un histórico navío atracado en el puerto de Kiel, mientras que en el reverso se pueden observar varios de los iconos turísticos más reconocibles de toda Europa, como la Torre Eiffel, el Coliseo Romano, el Manneken Pis de Bruselas, la Puerta de Brandemburgo, la Torre de Belem o la Sagrada Familia de Barcelona.

El número cero representa la cantidad nula y por eso es paradójico encontrar billetes con dicho valor, sin embargo existen otras muchas singularidades sobre el cero y su uso práctico, por ejemplo en nuestro calendario no existe un año cero. Entre las curiosidades matemáticas del cero podemos mencionar que no se puede dividir ningún número entre cero, si multiplicas cualquier a número por cero obtienes como resultado cero, si elevas cualquier número a la potencia cero (menos el mismo cero) el resultado es uno, y, asimismo, uno también es el resultado del factorial de cero. Como verás el cero es un número muy particular, si deseas conocer su historia mira el siguiente video.

OMRAAM AIVANHOV

EL NIÑO QUE INVENTÓ FORMAS PARA LOS NÚMEROS

Cada vez se escucha con más fuerza la idea de que la educación debe fomentar la creatividad en los niños. Incluso se indica que para el mundo laboral del futuro será fundamental desarrollar un pensamiento creativo. ¿Por qué es tan importante la creatividad? Comencemos por decir que el ser humano se caracteriza justamente por la habilidad de crear herramientas que le permitan adaptar el medio natural a sus necesidades. Sin embargo no es menos cierto que el desarrollo de las habilidades creativas potencian la autoestima, aumentan la conciencia, y, asimismo, desarrollan la comunicación y, por ende, la socialización. No cabe ninguna duda al respecto, despertar el pensamiento creativo de nuestros niños es sumamente beneficioso para ellos y para la sociedad en su conjunto. 

Generalmente suele asociarse la creatividad a las disciplinas artísticas como la pintura, la música o la poesía. Obviamente en estos casos la creatividad será fundamental, pero también lo será para la ciencia, en especial para la matemática. El desarrollo del conocimiento matemático es una consecuencia directa de ideas sumamente creativas de los grandes genios como Pitágoras, Euler, Gauss o Galois. En el siguiente video podrás conocer a un joven muy creativo que desarrolló una nueva forma para visualizar a los números. 

LA HISTORIA DETRÁS DE LOS NÚMEROS PROHIBIDOS

Algunos estudios psicológicos señalan que el 20% de las personas le temen a la matemática, lo cual es muy preocupante. Este temor ocurre por distintas causas que debemos comprender para poder ayudar a aquellas personas que lo padecen y logren así superar su miedo. Existen prejuicios culturales que afectan nuestra concepción de la matemática como una disciplina necesariamente complicada, incluso antes de disponerse a trabajar en problemas matemáticos, será entonces fundamental no presentar a la matemática como algo dificultoso. Asimismo muchas veces se señala erróneamente que las personas más inteligentes son aquellas que poseen mayor desarrollo en sus habilidades matemáticas, por tanto el fracaso en matemática se asimila equivocadamente como una limitación de nuestra inteligencia. Finalmente el uso del lenguaje matemático en los cursos avanzados muchas veces confunde a los estudiantes y los termina alejando de la matemática. Puede que los profesores profundicemos este temor con actitudes que reafirmen las ideas equivocadas que mencioné al principio. Si deseamos que nuestros alumnos no sufran la matemática debemos prestar atención para no cometer estos errores. 

Reflexionemos un poco, ¿un número puede hacernos daño? ¿puede alguien con un número robarnos? ¿acaso un número puede hacer que nos maten? Normalmente responderíamos con un rotundo NO a estas preguntas, sin embargo es hora de hablar de los números prohibidos. Obviamente no debemos temer a los números sino a las personas, pues hay personas que persiguiendo sus intereses son capaz de matar hasta por un número. Si quieres conocer la historia detrás de los números prohibidos mira el siguiente video.

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¿CUÁLES SON LOS NÚMEROS FELICES?

¿Qué es la felicidad? Es muy difÍcil responder esta pregunta pues es una cuestión muy personal. De todas formas siempre es conveniente tener en cuenta la opinión de los sabios, por eso a continuación les dejo algunas reflexiones de famosos filósofos sobre la felicidad. Empecemos con el más celebre de los filósofos griegos: Sócrates, para él “el secreto de la felicidad no se encuentra en la búsqueda de más, sino en el desarrollo de la capacidad para disfrutar de menos”. El filósofo romano Séneca dirá que “las grandes bendiciones de la humanidad están dentro de nosotros y a nuestro alcance. El sabio se contenta con su suerte, sea cual sea, sin desear lo que no tiene”. Finalmente el filósofo español José Ortega y Gasset escribió que “felicidad es la vida dedicada a ocupaciones para las cuales cada hombre tiene singular vocación”. En conclusión para ser feliz no hay que obsesionarse con la búsqueda de cosas materiales sino que debemos encontrar la felicidad en nuestro interior, y será más fácil ser felices si nos dedicamos a aquellas ocupaciones para las que tenemos vocación, es decir tareas que nos resultan sencillas y nos gustan.

El matemático y filósofo Pitágoras también nos deja una frase para reflexionar: “La felicidad consiste en unir el principio con el fin.” A mi juicio esta cita indica que el hecho de terminar las cosas no solo nos da la satisfacción de un buen trabajo sino que también nos quita el malestar que da el tener algo pendiente. Indudablemente para los matemáticos, como Pitágoras, no existe nada que escape del encanto de los números, ni siquiera la felicidad. En el siguiente video podrás conocer a los sorprendentes números felices.

FILOLAO

EL DESAFÍO DE JOHN CONWAY

Actualmente se conoce a David Hilbert por su célebre conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París donde presentó una lista de problemas abiertos que sirvieron como desafíos para los matemáticos del siglo XX. Algunos de estos problemas continúan sin una respuesta, entre ellos la Hipótesis de Riemann y la Conjetura de Goldbach, pero en su gran mayoría la comunidad matemática ha logrado resolver los enigmas propuestos por Hilbert. Continuando su tradición, en el año 2000, el Clay Mathematics Institute formuló los denominados “Siete Problemas del Milenio” y prometió un millón de dolares para quien logre dar respuesta a cada uno de estos misterios de la matemática. Grigori Perelman logró probar en 2003 uno de estos últimos, sin embargo el singular matemático ruso nunca se interesó por hacerse con las distinciones ni con el dinero prometido.

Como podrás observar en la historia de la matemática está instaurada la costumbre de proponer problemas abiertos, incluso con importantes remuneraciones económicas. John Conway es uno de los matemáticos más renombrados de la actualidad, y es reconocido principalmente por haber creado el Juego de la Vida, así como también los Números Surrealistas. Este destacado matemático utilizó las redes sociales para plantear cinco problemas ofreciendo una recompensa de mil dolares por cada uno. Curiosamente un desconocido, ajeno a la comunidad matemática, logró dar con la solución de uno de estos retos. En el siguiente video se explicará por qué el número 13532385396179 le costó US$1000 a John Conway.

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EL HOTEL INFINITO DE DAVID HILBERT

El conocimiento científico nos ha permitido realizar grandes hazañas como por ejemplo viajar hasta la misma Luna que vemos en el cielo nocturno. Sin embargo en su búsqueda de la verdad la ciencia ha derribado una serie de mitos un tanto incómodos. La Teoría Heliocéntrica de Copérnico puso fin a la creencia de que la Tierra es el centro del Universo, la Teoría de la Evolución de Darwin propone que el hombre lejos de ser creado a imagen de Dios posee descendientes en común con los monos, y por último la Teoría Psicoanalítica de Freud señala que el comportamiento de los humanos es en gran medida irracional, como el de los animales. Obviamente en su tiempo no fue fácil sostener estas nuevas ideas ante la presión de la comunidad que rechazaba rotundamente las evidencias científicas. En la Matemática también existeron casos de este tipo, uno de ellos es la Teoría de los Conjuntos Infinitos de Georg Cantor. Lejos de ser reconocido por su obra Cantor murió solo, en un hospital psiquiátrico, luego de ser duramente atacado por su antiguo profesor: el matemático Leopold Kronecker. Como muchas veces ocurre, con el tiempo llegaría el reconocimiento al trabajo de Cantor.

Si bien debemos nuestra comprensión matemática del infinito a Georg Cantor, no es menos cierto que David Hilbert a través de su fábula del Hotel Infinito logró ejemplificar este complicado concepto de forma muy sencilla para que cualquier inexperto en matemática pueda entenderlo. Para conocer la historia del Hotel Infinito elaborada por Hilbert mira el siguiente video.

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LA HISTORIA DE LOS NÚMEROS ROMANOS

Vivimos en el presente y con la mirada puesta en el futuro, pero ¿vale la pena pensar en el pasado? Antes que nada es inevitable que busquemos nuestros orígenes como civilización para lograr una identificación como sociedad, asimismo es sumamente importante conocer nuestra historia para reflexionar acerca de nuestros aciertos y nuestros errores. La Antigua Roma es un buen ejemplo de sociedad que pasó por todos los estados posibles, dejándonos como legado su gran desarrollo del Derecho y de la Arquitectura, entre otras cosas. En el cine podemos observar decenas de películas ambientadas en la Antigua Roma que evidencian la necesidad de revisitar la historia de los romanos. “Gladiator”, “Centurion”y “Ágora” son solo algunos de los films cuyas historias transcurren en el antiguo Imperio Romano. Precisamente “Ágora” es una película biográfica acerca de una de las primeras mujeres matemáticas: Hipatia de Alejandría. 

Los romanos no se dedicaron al estudio de la ciencia teórica, aunque sí recopilaron los conocimientos de los pueblos que fueron conquistando, como por ejemplo Grecia y Egipto. Ellos aplicarían dichos conocimientos para desarrollar tecnologías en distintos campos como la ingeniería militar, la agricultura o las construcciones arquitectónicas. Eso sí, los romanos contribuyeron a la historia de la matemática con un sistema de numeración que en su época fue revolucionario pero que en la actualidad ha sido reemplazado. Si quieres conocer por qué ya no usamos los números romanos o cuál es el mayor número romano que podemos escribir entonces mira el siguiente video.

UNO ES IGUAL A UNO ¿O NO?

¿El número 1 es primo? La naturaleza propia del número 1 pareciera indicarnos que es el molde con que se formaron los otros números a lo largo de la historia y siendo los números primos aquellos que de alguna forma nos permiten expresar a todos los otros números pareciera una contradicción que el 1 no sea considerado un número primo. Tan sospechoso es esto que incluso hasta el siglo XIX el número 1 era para todos los matemáticos el primer número primo, sin embargo empezaron a surgir problemas que terminaron por excluir al 1 de este selecto conjunto de números. Las razones detrás de esto son puramente técnicas y difíciles de explicar, pero recuerda una cosa: la matemática no es un conocimiento cerrado y acabado, por eso mismo puede cambiar o adaptarse. La matemática está viva en cada persona que se siente a pensar y repensar sus misterios.

Podríamos entonces replantearnos preguntas que parecen casi obvias para profundizar en sus respuestas, esto es lo que realmente hace avanzar a toda disciplina científica. ¿Uno es igual a uno? Esta pregunta es, por supuesto, engañosa. Si deseas descubrir por qué mira el siguiente video.

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LA INFINITA BÚSQUEDA DE NÚMEROS PRIMOS

Los números primos han sido una fuente inagotable de misterios para los matemáticos a lo largo de la historia. En la actualidad dos de los mayores problemas sin resolver de la matemática (la Hipótesis de Riemann y la Conjetura de Goldbach) tienen mucho que ver con los números primos. Será Euclides el primer matemático en demostrar que existen infinitos números primos. El hecho de que existan infinitos primos hace inevitable la permanente búsqueda de números primos, y entonces surgen varias dudas: ¿cómo se distribuyen los números primos? ¿para qué nos sirven? ¿existen fórmulas que nos permitan obtener más números primos? 

Muchos matemáticos se han puesto a investigar fórmulas para descubrir números primos, entre ellos Pitágoras, Pierre de Fermat, Marin Mersenne y Sophie Germain. Otros tantos matemáticos han centrado su atención en la distribución de números primos, por ejemplo Carl F. Gauss y Leonhard Euler. Actualmente los números primos son muy utilizados en varios campos, ya hemos visto en el blog, por ejemplo, su importante aplicación en la seguridad informática. Esto hace que cada nuevo número primo descubierto sea una noticia que no solo los matemáticos festejan. En el siguiente video puedes conocer entre otras cosas la historia detrás del ahora penúltimo número primo conocido (de más de 22 millones de cifras).

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS PRIMOS?

Todo estudiante de nivel secundario que haya tenido un curso de química conoce la tabla periódica de elementos. Esta tabla reúne todos los elementos químicos que conocemos con los que la materia puede constituirse, por ejemplo el hierro, el carbono o el titanio. Obviamente hay materias que no son elementales, por ejemplo el agua, y por ende estan compuestas por moléculas que reúnen átomos de distintos elementos, en el caso del agua la molécula se compone por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Algunos de estos elementos se conocen desde la antigüedad, entre estos podemos nombrar al oro o el mercurio, mientras que otros se descubrieron hace no mucho, por ejemplo en 2016 se encontraron cuatro nuevos elementos: nihonium, moscovium, tennessine y oganesson. 

Los matemáticos suelen comparar los elementos químicos con los números primos, pues así como todas las demás materias se componen por moléculas que reúnen átomos de distintos elementos, todos los números puede decirse que están conformados por números primos. Asimismo hay números primos que se conocen desde la antigüedad y otros que se conocen desde hace muy poco. En el siguiente video no solo se describe qué es un número primo sino que también se explica nada más ni nada menos que el Teorema Fundamental de la Aritmética.

LA MAGIA DE LOS NÚMEROS DE FIBONACCI

¿Para qué aprendemos matemática? Obviamente el hecho de conocer y utilizar apropiadamente las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) nos permite desenvolvernos en la vida cotidiana, sin embargo la mayoría de las personas adultas no suelen calcular logaritmos diariamente. La matemática es una ciencia cuyos resultados permiten el desarrollo de otras disciplinas científicas, por tanto es sumamente útil. Pero no sería correcto estudiar matemática solamente por sus aplicaciones prácticas, la matemática no consiste solamente en resolver problemas sino que también es disfrutar el hecho de enfrentarnos a una situación enigmática. La matemática debería enseñarse de una forma mucho más inspiradora.

En general todo lo que estudiamos en el sistema educativo pareciera aprenderse para luego repetirlo en un futuro examen, y eso es horrible. Obviamente llega un momento en que los estudios avanzados no suelen ser fáciles, y eso no obliga a comprometernos a estudiar más y más. Pero eso no significa que debamos ver un duro camino cuyo destino es un examen, más bien deberíamos contemplar un dificil laberinto del cual saldremos reconfortados. En el siguiente video Arthur Benjamin nos ilustra el carácter inspirador de la matemática, especialmente de una de las sucesiones numéricas más sorprendentes: La Sucesión de Fibonacci.

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LA PARADOJA DE LOS NÚMEROS INTERESANTES

¿Antes de que existiera Wikipedia cómo era el mundo? Hoy estamos a un clic de distancia para conocer, al menos superficialmente, cualquier cosa que desconozcamos ya sea un cantante, una ciudad o un animal exótico, escribes su nombre en el buscador de Wikipedia y lees. Antes de Wikipedia era necesario tener una enciclopedia (de muchos tomos) y en ella buscabas aquello que deseabas conocer por orden alfabético. Aparentemente no existe un gran cambio, solo que no hay que comprar enciclopedias ni pierdes tiempo buscando los artículos. El gran cambio, en realidad, es que los artículos de Wikipedia son escritos por los usuarios y esta participación tiene grandes ventajas, una de ellas es que se encuentra en permanente actualización.

El número 291 no tenía un artículo redactado en Wikipedia cuando el video que se presenta a continuación se publicó en YouTube, y justamente como respuesta al video personas de todo el mundo dedicaron tiempo de sus vidas a redactar un artículo para este número que había caído en el olvido de la Wikipedia. La paradoja de los números interesantes nos indica que siempre habrá números aburridos, de hecho siempre serán infinitos números aburridos. ¿Y ahora cuál es el primer número aburrido? ¿Podríamos salvar a alguno de ellos?

¿AÚN NO TIENES UN NÚMERO FAVORITO?

Mi número favorito es el 23 pues tiene muchas particularidades, algunas de estas son de interés matemático y otras no. Las características matemáticas más importantes del 23 son que es un número primo y también que es un número feliz (quizás nunca has escuchado de ellos, pero existen los números felices en matemática). En la cultura popular el 23 también está presente, por ejemplo existe una canción de Miley Cyrus cuyo título es “23”, así como también una película de suspenso protagonizada por Jim Carrey llamada “The Number 23”. Particularmente en este film puede observarse como muchas veces la gente se obsesiona con un número. 

El filósofo y matemático griego Pitágoras tenía una gran pasión por los números, esta pasión a veces lo llevaba por caminos científicos y conocimientos matemáticos (por ejemplo su célebre Teorema de Pitágoras) y otras veces por caminos místicos propios de la numerología (por ejemplo su conocida Música de las Esféras). En la Antigua Grecia se sitúa uno de los grandes pasos de la historia del conocimiento al dejar de lado las explicaciones mitológicas para elaborar respuestas racionales y lógicas ante lo desconocido. Así fue que nació la filosofía: con el paso del mito al logos. En el siguiente video se muestran muchas razones lógicas y matemáticas para adoptar un número favorito.

LA HISTORIA DEL NÚMERO π

¿Cómo era el mundo hace cuatro mil años? Bueno... yo no soy profesor de historia, pero eso sí, les puedo asegurar que ya en esa época se tenía conocimiento del número π, inlcuso se estimaba su valor en 3,16. En 2006 el japonés Hiroyuki Goto recitó cien mil cifras decimales del número π durante más de dieciseis horas. Si deseas quitarle el record mundial a Hiroyuki deberás aprender reglas memotécnicas para memorizar las cifras decimales de π, por ejemplo: “Soy y seré a todos definible / mi nombre tengo que daros / cociente diametral siempre inmedible / soy de los redondos aros”. Si cuentas las letras de cada palabra en el poema anterior obtendrás las primeras veinte cifras decimales de π.

¿Qué tiene un número para despertar el interés de tantas personas a lo largo de la historia? Si aún no has caído bajo el encanto de π quizás no entiendas por qué este número aparece hasta en el azar. En ese caso te sugiero ver el siguiente video, entonces podrás conocer cómo ha sido el largo camino de aprendizaje sobre el número π, así como también un método para calcular un valor aproximado haciendo un experimento en tu casa.

LOS NÚMEROS BINARIOS

El bien y el mal, la verdad y la mentira, el blanco y el negro... muchas veces los discursos de las personas no admiten matices y separan su universo en dos partes antagónicas. Esta costumbre es propia del mundo occidental, recordemos que en la cultura oriental podemos encontrar conceptos como el yin y el yang que si bien se consideran opuestos, del mismo modo se entienden complementarios. Si bien cada vez existen más teorías filosóficas que buscan comprender el universo abarcando su carácter complejo y difuso, lo cierto es que muchas veces vuelve a resurgir un pensamiento reduccionista donde eres parte del problema o eres parte de la solución. 

La lógica binaria se basa en el llamado Principio de Dualidad en donde las variables pueden tomar solo dos valores: verdadero o falso, sí o no, cero o uno. Esta forma de concebir el mundo es muy útil para las computadoras, no tanto para los hombres. Como vivimos rodeados de tecnología y dependemos de sistemas computarizados para casi todo, esta lógica binaria nos rodea permanentemente pues es el lenguaje de los ordenadores. Para comprender en parte cómo los ordenadores codifican su mundo en interminables cadenas de ceros y unos mira el siguiente video que explica, entre otras cosas, el sistema de numeración binario.