GEORG CANTOR

LOS POSTULADOS DE EUCLIDES

El conocimiento universal comenzó mucho antes que la ciencia, justamente como resultado de una vasta colección de conocimientos la ciencia aparecerá para juzgar la veracidad de dichos conocimientos. El método científico será entonces un proceso que evalúe las hipótesis que la humanidad se plantee, por ejemplo: “El sol es una bola de fuego” o “La luna gira alrededor de la Tierra”. Las ciencias fácticas solo consideran verdadero un conocimiento si logran verificarlo a través de la experimentación. Los conocimientos matemáticos preceden por muchísimo tiempo a la matemática como ciencia. Euclides en su libro “Los Elementos” (aproximadamente 300 a.C.) recopila una cantidad enorme de información sobre geometría, pero por primera vez en la historia la organiza a través de un método: el método lógico-deductivo. Este método es lo que convierte a la matemática en ciencia, por lo que podemos decir que sus conocimientos son verdaderos.

Toda teoría matemática se basa en postulados o axiomas, que se entienden como verdades incuestionables. Aceptando estas afirmaciones la teoría irá desarrollándose obteniendo tanta información como pueda, haciéndose más preguntas y tratando de responderlas. Eso sí, el conocimiento humano solo avanza cuando logra debatir o criticar sus propias bases. Muchas teorías matemáticas tienen su origen en el cuestionamiento riguroso de una teoría anterior. En el siguiente video se analizan los famosos postulados de Euclides incluyendo algunas teorías geométricas alternativas.

FLATLAND: LAS OTRAS DIMENSIONES

Nuestros sentidos nos engañan, y este es un gran problema para conocer el mundo pues lo percibimos únicamente a través de ellos. En todas las culturas conocidas han privilegiado al sentido de la vista en desmedro de los otros, y esto no es extraño pues casi el 50% de la actividad cerebral se dedica al procesamiento de la información visual. Por tanto la vista es quizás el mejor instrumento que poseemos  para interpretar el mundo, pero debemos reconocer sus limitaciones para no caer en callejones sin salida. El Triángulo de Penrose es un objeto imposible de construir en tres dimensiones pero que sí se puede dibujar, si lo miras podrás entender que las ilusiones ópticas nos engañan lo suficiente para descreer de nuestros propios ojos.

Cuando a principios del siglo XX Albert Einstein revolucionó el mundo de la ciencia con su Teoría de la Relatividad quedó evidenciada la estrecha relación entre el espacio y el tiempo, instaurándose así la idea de que podíamos considerar al tiempo como la cuarta dimensión. Esta noción fue aprovechada por la cultura popular en múltiples ocasiones vinculadas a la ciencia ficción, de hecho una de las últimas películas en tratar el tema fue “Interestelar” (2014). Asimismo otras teorías físicas han retomado la búsqueda de dimensiones, como por ejemplo la Teoría de Cuerdas, planteando la existencia de nueve o más dimensiones, de las cuales solo percibiríamos tres. En el siguiente video se explica cómo podríamos entender una posible cuarta dimensión a través del tan importante sentido de la vista.

(activa los subtitulos del video)

CHARLES CHAPLIN

LA SORPRENDENTE GEOMETRÍA FRACTAL

Desde muy pequeños estamos familiarizados con figuras geométricas diversas, como los triángulos, los círculos o las pirámides. Aprendemos muchos de los misterios sorprendentes relativos a estas figuras con la esperanza de que nos sirvan para algo y sin embargo pareciera que en la naturaleza las formas distan mucho de ser regulares. El matemático Benoit Mandelbrot argumenta lo siguiente: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta.” ¿Estudiamos los clásicos conceptos geométricos en vano? La respuesta es no. Obviamente la geometría clásica no es suficiente por lo que fue necesario crear una nueva geometría, la geometría fractal, propuesta justamente por Mandelbrot. Pero para crear esta nueva teoría matemática recurriremos muchas veces a conceptos geométricos clásicos y sobre todo al razonamiento lógico que obtuvimos del estudio de la geometría tradicional.

En el irregular mundo de los fractales nos encontramos con figuras de mayor complejidad como el Copo de Nieve de Koch o la Alfombra de Sierpinski. Estas nuevas formas fractales parecen guardar mayor relación con la naturaleza, por tanto nos serán muy útiles. Entre las múltiples aplicaciones de esta nueva geometría se encuentran la realización de animaciones realistas, la construcción de antenas eficientes y la compresión de datos. En el siguiente video se contesta una pregunta impostergable ¿qué son los fractales?

¿QUÉ ES EL CÁLCULO INTEGRAL?

En ciencia existen distintas posturas para investigar aquello que se desea conocer. Dentro de esas posturas existen dos que se pueden considerar opuestas: el reduccionismo y el holismo. Los científicos que mantienen una visión reduccionista están convencidos que el objeto de su estudio puede ser fragmentado y analizado completamente a través de sus partes. Los científicos que, por el contrario, se entienden dentro de una concepción holística hacen suyas las palabras de Aristóteles: “El todo es mayor que la suma de sus partes”. Sostienen, entonces, que el funcionamiento de un sistema es más complejo que el funcionamiento de los elementos constituyentes del sistema. Un concepto muy importante al respecto es el de sinergia, entendida como un efecto sistémico causado por múltiples causas que en caso de actuar aisladamente no lograrían dicho resultado.

El cálculo infinitesimal desarrollado por Newton y Leibniz logró comprender la relación entre dos conceptos matemáticos que ya existían: las integrales y las derivadas. En el siguiente video se explican básicamente las ideas que hay detrás del cálculo de integrales. Como podrás observar tiene mucho que ver con el estudio del todo y de las partes.

BLAISE PASCAL

ISAAC NEWTON VS GOTTFRIED LEIBNIZ

Generalmente hablamos de los científicos para referirnos a sus descubrimientos o ideas revolucionarias que definen su importancia en el mundo del conocimiento. Sin embargo su relevancia debe entenderse por el impacto de su trabajo sobre la sociedad, visualizando las consecuencias prácticas de sus hallazgos como también las implicaciones conceptuales de sus teorías. Asimismo muchas veces olvidamos que fueron personas con virtudes y defectos, como todos. Cuando podemos conocer a la persona que hay detrás del científico es mucho más fácil comprender su genialidad. 

Isaac Newton es uno de los científicos más importantes de la historia, entre sus aportaciones se destacan la teoría de gravitación universal que describe los principios matemáticos que rigen el movimiento de los cuerpos celestes, sus estudios sobre la naturaleza de la luz, las leyes de la dinámica, y también el desarrollo del cálculo infinitesimal. Sin embargo no era una persona sencilla de tratar desde sus comienzos, cuando amenazó a su madre y su padrastro con incendiar la casa con ellos dentro. También tuvo disputas científicas, sus enemigos más celebres fueron Robert Hooke y Gottfried Leibniz. En el siguiente video se describe con bastante humor la famosa controversia con el matemático y filosofo alemán Leibniz.

PERELMAN: EL MATEMÁTICO QUE RECHAZA PREMIOS

Muchas personas consideran que la matemática es una disciplina del conocimiento humano ya terminada, es decir que no hay nada nuevo por descubrir en esta ciencia. Nada más lejos de la realidad. La matemática es una ciencia en construcción, donde permanentemente surgen nuevas teorías que comienzan desde cero. Asimismo las grandes teorías matemáticas desarrolladas a través de la historia también esconden sus misterios. Existen problemas abiertos en matemáticas, preguntas que aún no se logran responder, afirmaciones que se sospechan verdaderas pero que no han sido demostradas aún. El problema abierto más importante de la matemática es la Hipótesis de Riemann.

En el año 1900 el matemático David Hilbert en un Congreso en La Sorbona (Paris) presentó una famosa lista de problemas a resolver, muchos de los cuales aún permanecen sin solución. En el año 2000 conmemorando el centenario de la disertación de Hilbert el Clay Mathematics Institute presentó una lista de siete problemas que tituló “Los Problemas del Milenio” anunciando que aquel matemático que logre resolver alguno de dichos problemas será premiado con un millón de dolares. Grigori Perelman demostró la Conjetura de Poincaré en el año 2002, siendo este el único problema del milenio al que se le dio una respuesta. Rápidamente lo medios periodísticos se hicieron eco de la noticia. Desde entonces hasta ahora Grigori Perelman ha evitado entrevistas y premios, y continua en su casa trabajando para resolver más enigmas matemáticos.

DEAN ACHESON

¿POR QUÉ NO HAY UN PREMIO NOBEL DE MATEMÁTICA?

En 2016 el Premio Nobel de Literatura fue otorgado al cantante estadounidense Bob Dylan generando polémica entre los especialistas. Lo cierto es que no es la primera vez (ni será la última) que un Premio Nobel de Literatura desate fuertes discusiones. Otro debate no menor refiere a grandes escritores de la historia que no fueron premiados por la Fundación Nobel como por ejemplo Jorge Luis Borges, James Joyce, Franz Kafka o Marcel Proust, entre otros. Para ser justos debemos mencionar que entre los sí premiados hay otros tantos escritores indiscutiblemente influyentes en la literatura universal como Hermann Hesse, Ernest Hemingway, Albert Camus o Pablo Neruda. ¿Pero cuál es la historia de los Premios Nobel?

Alfred Nobel fue un químico, ingeniero, inventor e industrial muy relacionado a la fabricación de armas. Se dice que un día estaba leyendo el obituario y allí encontró la noticia (errónea) de su muerte. El título del obituario era el siguiente: "El mercader de la muerte ha muerto". Fue entonces que el millonario inventor empezó a reflexionar sobre su legado y comenzó a sentir culpa por sus actividades comerciales. Finalmente se decidió a escribir un testamento donde indica que su fortuna deberá emplease en crear una serie de premios para aquellos que llevasen a cabo el mayor beneficio a la humanidad en los campos de la física, la química, la fisiología o medicina, la literatura y la paz. En el siguiente video se analiza el motivo por el que no existe un Premio Nobel de Matemática.

LEONARDO DA VINCI Y LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

La geometría clásica fue la primer teoría matemática que fue formalizada a través del razonamiento lógico-deductivo en el libro “Los Elementos” de Euclides. Muchos de los resultados que hoy estudiamos provienen del conocimiento de la geometría que los griegos ya poseían, como ejemplos podemos nombrar el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales, las cónicas de Apolonio, los sólidos platónicos o la aproximación del número pi de Arquímedes. La mayor restricción que tenían los griegos para trabajar en geometría era realizar todas las construcciones con regla y compás. Existen dos famosos problemas de la geometría clásica que los griegos no lograron resolver: la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo.

En el Renacimiento muchas ideas de la cultura greco-romana fueron retomadas en el mundo occidental, sobretodo las concepciones filosóficas aunque también las ideas relacionadas a la ciencia. Leonardo Da Vinci es quizás el mayor símbolo del Renacimiento, se destacó como pintor, escultor, inventor y científico entre otras disciplinas. Su polifacética obra evidencia los vínculos existentes entre distintas áreas del desarrollo humano. Asimismo se lo conoce por su carácter inconstante en el trabajo que se traduce en muchísimas pinturas y escritos jamás acabados. En el siguiente video se analiza su famoso dibujo “El hombre de Vitruvio” donde Da Vinci relaciona el problema matemático de la cuadratura del círculo con conceptos filosóficos y artísticos propios de su época.

(activa los subtítulos del video)

PROTÁGORAS

LAS INFINITAS CIFRAS DEL NÚMERO PI

El 14 de marzo, debido al formato de fecha estadounidense 3/14, es una de las tantas fechas propuestas como el Día del Número Pi. Curiosamente dicha fecha coincide con el cumpleaños de Albert Einstein. Lo cierto es que el número pi trasciende la matemática y forma parte de la cultura universal. Solamente a modo de ejemplo veamos que para recordar fácilmente el número de emergencias relacionadas a trenes y subterráneos en Argentina se utiliza el teléfono 31416 tomando como referencia las primeras cifras decimales de pi. Claro que su popularidad radica en su importancia matemática, sobretodo por su relevancia en temas vinculados a circunferencias (y otras cónicas) como su misteriosa aparición en resultados de probabilidad. Grandes problemas de la matemática como la cuadratura del círculo guardan un fuerte lazo con el número pi y su naturaleza. 

En 1761 el matemático Johann Lambert demostró que el número pi es irracional, es decir que tiene infinitas cifras decimales que no respetan ningún patrón de repeticiones (o período), desde ese momento en adelante comenzó la obsesiva carrera por hallar cada vez más cifras decimales de pi. Antes de que existieran las calculadoras o computadoras este trabajo tenía dimensiones épicas, quizás el caso más famoso sea el del matemático William Shanks que durante veinte años se dedicó casi exclusivamente a encontrar los primeros 707 decimales de pi. El avance de las tecnologías transformó por completo la búsqueda de aproximaciones al número pi. Actualmente el japonés Shigeru Kondo tiene el récord con 10 billones de cifras decimales de pi. Quizás te preguntes cómo es que se consiguen estas cifras o por qué son tan difíciles de conseguir sin la ayuda de las computadoras, en el siguiente video se analizan algunos métodos para calcular estos decimales de pi tan codiciados. Eso sí, la búsqueda no acabará nunca.

¿HASTA QUÉ NÚMERO PUEDES CONTAR CON LOS DEDOS?

Cuando en una pelea de boxeo uno de los luchadores cae al suelo por un golpe de su rival el juez de la pelea cuenta hasta diez para otorgarle la victoria por knock-out al boxeador que atinó el golpe. Pareciera que los humanos naturalmente estamos dotados para contar hasta diez con nuestros dedos pero lo cierto es que existieron civilizaciones cuyo lenguaje no contemplaba la idea de un número mayor a tres, no había una palabra para decir “cuatro” o “cinco”, en todo caso se decía una palabra equivalente a “muchos”. Muchos conceptos numéricos que trabajamos día a día con naturalidad fueron verdaderas revoluciones en su tiempo, por ejemplo el concepto de cero, que Leonardo de Pisa (también conocido como Fibonacci) introduce en el mundo occidental tuvo como consecuencia el abandono de la numeración romana, adoptando entonces los números arábigos, hoy universalmente utilizados. Asimismo la idea de infinito fue muy controversial en su época adquiriendo incluso matices teológicos muy lejanos a la matemática. Lo cierto es que a través de la historia los hombres han contado con sus dedos de diversas maneras dando lugar a distintos sistemas de numeración. 

En el siguiente video puedes conocer hasta qué número podrías contar con tus dedos, es más si fueras un boxeador que acaban de derribar te encantaría que el juez supiese dichos sistemas para descansar un poco antes de levantarte y continuar luchando.

(activa los subtitulos del video)

FERNANDO PESSOA

REPARTIDOS DE EJERCICIOS

Cuando comencé el blog tenía dos objetivos principales, el primero era compartir material de divulgación científica para poder trabajar sobre actividades alternativas a las que generalmente se trabajan en una clase tradicional, el segundo objetivo era proporcionar un espacio virtual para consultar los repartidos de ejercicios que utilizo en los distintos cursos a lo largo del año. Debido a que en este 2017 comienzo con esta idea puede que se vaya actualizando muy de vez en cuando pero espero que en un futuro los alumnos puedan consultar todo el material del año desde el principio. Haz clic en el nivel que estés inscripto y consulta el material disponible:

TERCER AÑO DE BACHILLERATO

Si aún no aparecen materiales de este curso es probable que a lo largo del año vaya subiendo los repartidos oportunamente

SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

Núcleo Común:

Repartido nº1 - Geometría Analítica en el Plano ver repartido
Repartido nº2 - Estrategias de Conteo ver repartido
Repartido nº3 - Probabilidad ver repartido

PRIMER AÑO DE BACHILLERATO

Repartido nº1 - Función exponencial y logarítmica ver repartido
Repartido nº2 - Función racional ver repartido
Repartido nº3 - Sistemas de ecuaciones ver repartido

TERCER AÑO DE CICLO BÁSICO

Repartido nº1 - Teorema de Pitágoras ver repartido
Repartido nº2 - Sistemas de Ecuaciones ver repartido
Repartido nº3 - Función Cuadrática ver repartido
Repartido nº4 - Trigonometría ver repartido
Repartido n°5 - Teorema de Tales
Repartido n°6 - Sistema de Ecuaciones
Repartido n°7 - Probabilidad y Estadística


PRIMER PARCIAL ver repaso

SEGUNDO AÑO DE CICLO BÁSICO

Repartido nº1 - Expresiones Algebraicas ver repartido
Repartido nº2 - Vectores y Traslación ver repartido
Repartido nº3 - Geometría del Triángulo ver repartido
Repartido nº4 - Función Lineal ver repartido

PRIMER PARCIAL ver repaso

PRIMER AÑO DE CICLO BÁSICO

Repartido n°1 - Operaciones con números naturales ver
Repartido n°2 - Potencias y raíces cuadradas ver
Repartido n°3 - Introducción a la geometría plana ver
Repartido n°4 - Divisibilidad ver
Repartido n°5 - Introducción a los números racionales ver
Repartido n°6 - Proporcionalidad y porcentajes ver
Repartido n°7 - Introducción a los número enteros ver
Repartido n°8 - Simetrías